Алиев Таир Рафикович родился 24 сентября 1960 года в Баку. В феврале 1969 переехал в Москву, где, закончив 8 классов, поступил в медицинское училище №7. Учёбу совмещал с работой санитаром и в перевязочной отделения гнойной хирургии ГКБ №53.
После окончания училища работал на центральной станции скорой медицинской помощи при Институте Склифосовского. Отслужил в армии, в В/Ч №42647 г. Свердловска, фельдшером батальона. После возвращения поступил в Московский медицинский институт им. А.Н. Семашко, и в 1987 году успешно окончил лечебный факультет.
Учёбу в институте совмещал с общественной работой и дежурствами в хирургическом отделении ГКБ №40. Летом 1987, когда пришла пора распределения, поступил в ординатуру в Институт хирургии им. А.В. Вишневского АМН СССР. Этот момент считает главным подарком судьбы и основным поворотом, определившим всё дальнейшее профессиональное развитие, так как отделение торакальной хирургии института А.В. Вишневского являлось единственным головным научным центром в СССР, занимающимся пластической и реконструктивной хирургией молочной железы.
После окончания ординатуры, в 1989, продолжил работу в отделении грудной хирургии в качестве научного сотрудника до 1998 года под руководством Александра Александровича Вишневского, одного из главных специалистов СССР по пластике груди. За это время наработал колоссальный опыт по всем видам пластических операций на грудной стенке и молочных железах.
С 1992 года активно участвует во всех хирургических форумах по проблемам пластической хирургии. За это время представил десятки научных докладов и написал более 40 научных работ.
В 1993 защитил кандидатскую диссертацию на тему «Использование большого сальника в лечении осложнений после операций на грудной стенке, органах средостения и лёгких», целиком посвящённую глобальным вопросам реконструктивно-пластической хирургии. Работа была выполнена с фундаментальным клинико-анатомическим исследованием в течение 6 лет на очень сложной группе больных.
С 1994 года является членом Общества пластических, реконструктивных и эстетических хирургов.
В 1996 году стажировался по проблемам пластической хирургии у доктора Олбриша (ФРГ). В 1998 году стажировался по методике ультразвуковой липоскульптуры в Нидерландах.
Параллельно с научной деятельностью в институте занимался коммерческой деятельностью в различных клиниках Москвы, где выполнял операции по увеличению, подтяжке и уменьшению груди, устранению асимметрии, рубцовых деформаций, липоскульптуре и абдоминопластике. В 1994 году возглавил направление пластики молочных желез и липоскульптуры в клинике «Эстетика», с 1997 года – в европейском медицинском центре на базе ОАО «Медицина». В 1998, на фоне упадка и развала академической науки, принял решение уйти из Института и продолжать работу только в области реконструктивной, эстетической и пластической хирургии.
В 2000-2003 годах был руководителем клиники пластической хирургии КЦ «Медпомощь». В 2003 году основной клинической базой для пластических операций выбрал клиническую больницу №85, где организовал центр пластической и реконструктивной хирургии, чуть позже названный «Клиника Века». Руководителем и ведущим хирургом Клиники является и по сей день.